Licenciatura en Matemática Aplicada.

Universidad Autónoma de Nayarit.

Perfil del estudiante.

Sería deseable que el interesado en ingresar cumpliera con los siguientes requisitos:

·        Ser egresado del Bachillerato en el área de Ciencias Básicas e Ingeniería.

·        Tener inquietud científica e inclinación por la resolución de problemas, así como una mínima familiaridad con el manejo de la computadora.

·        Tener capacidad de concentración y disposición a dedicar tiempos largos de trabajo.

·        Tener facilidad o habilidades de tipo matemático, gusto por la abstracción y la generalización.

·        Haber cursado y aprobado como antecedente el curso propedéutico que ofrecerá el Programa Académico de la Licenciatura.

Objetivo general.

El objetivo general de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas (LMA) es proporcionar a sus estudiantes la posibilidad de:

El perfil del egresado.

Los egresados de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas (LMA) de la Universidad Autónoma de Nayarit:

Beneficios.

El estudiante podrá ampliar en forma muy significativa su visión, conocimientos, metodologías y herramientas de los modelos básicos de tipo determinista en su aplicación a una gran diversidad de problemas. Podrá profundizar en conocimientos clásicos ya existentes y ampliar la visión numérica y computacional de los mismos. La sociedad en general y en particular, las organizaciones sociales, se podrán ver beneficiadas con los egresados de esta licenciatura al tener en ellos a un buen instrumento para el planteamiento y posibles soluciones de muchos de sus problemas. Los campos de trabajo y mercado laboral del Matemático Aplicado son muy diversos. Puede laborar tanto en centros educativos, instituciones gubernamentales, así como en sectores sociales muy diversos.

Construcción de la propuesta

La construcción de la propuesta está basada en:
1. Identificar algunos de los problemas sociales importantes a los cuales una LMA podría ofrecer alternativas, como los relacionados con la situación agropecuaria, el problema de las pesquerías y problemas educativos de las aplicaciones de la matemática a las Ingenierías (en general y en particular en el Estado de Nayarit), que incumben al proceso de formación de profesionales en Matemática Aplicada.
2. El contenido propiamente académico de la Propuesta.

Consideraciones educativas
De los objetivos de la LMA

Importa referir este trabajo a los objetivos generales planteados en la ley orgánica de la Universidad Autónoma de Nayarit (UAN) que entre otros, tiene los propósitos de:
1. Ser una institución pública de cultura y ciencia de alto nivel académico.
2. Estar comprometida con la sociedad que la hace posible a través de sus funciones.
3. Ser fiel al papel que juega como la conciencia y espíritu crítico de la sociedad nayarita.


Objetivos particulares.


1. Desarrollar una práctica académica sustentada en un sistema de valores en el cual, explícitamente, lo más importante es el ser humano y el medio ecológico que le rodea.


2. Fortalecer la universidad pública como opción educativa de alto nivel académico.
3. Contribuir en la construcción de un sistema de investigación científica propio y reducir en la medida de lo posible la dependencia del exterior, tanto científicamente como en el terreno de la tecnología.


4. Ayudar en la formación de profesionales que apliquen la matemática de la manera más polifacética posible en la resolución de problemas de naturaleza varia.y que se mantengan actualizados.


Asimismo, la LMA propugnará que el conocimiento, la ciencia y la tecnología sean instrumentos para comprender y transformar el mundo a favor del hombre y su medio ambiente y el Matemático Aplicado debe asumir responsable y éticamente las consecuencias de su trabajo. En particular, de las que pudiere tener en la sociedad en la que se producen. En tanto bien público, el conocimiento generado o aplicado debe beneficiar a la sociedad en su conjunto y no sólo a los que puedan pagar por él.

El conocimiento científico


La creación y generación de conocimiento han sido por tradición de naturaleza colectiva, y aunque en principio éstas siguen conservando este carácter, a últimas fechas se acostumbra considerarlos como una propiedad individual y en consecuencia, su difusión queda reducida a un número poco significativo de la población, lo cual, resulta altamente injusto: el conjunto de los afortunados que saben son relativamente pocos, los que tienen la posibilidad de beneficiarse de la ciencia y la tecnología son menos aún. Además, con ayuda de los medios masivos de comunicación, sobre todo a través de la televisión, el fenómeno de la ignorancia crónica y generalizada de las grandes masas alcanza niveles insospechados. Día tras día este fenómeno se profundiza. En muchos aspectos la ciencia ha sido un instrumento de liberación de los seres humanos contra la superstición y la ignorancia y, muchos de sus avances han contribuido a mejorar la calidad de vida de la gente, además de que la vocación generalizada de quienes se dedican a ella, suele moverse en contextos altruistas. Sin embargo la educación tradicional, la indoctrinación por parte de los países hegemónicos hace que los científicos acaben por limitar su ética, renieguen o pierdan su compromiso social. En ella, se aprende a investigar en forma especializada con la mayor eficiencia posible pero conforme los estudiosos se especializan, su visión general del mundo suele volverse cada vez más estrecha. En términos generales, el sistema de educación tradicional reproduce una visión fragmentada del conocimiento, sin contexto histórico y social.
Todo lo anterior llevaría a la búsqueda de potenciar los valores de no fragmentar la ciencia y de no olvidar los aspectos sociales y por ello, impulsar la tendencia a usar la matemática como una ciencia unificadora de planteamientos multidisciplinarios e interdisciplinarios sin perder de vista sus repercusiones.
Obsolescencia de conocimientos
En la formación de matemáticos aplicados hay otro aspecto fundamental que no se puede olvidar en el afán de recuperar para la sociedad los beneficios de su trabajo, esto es, el de tener presente la velocidad creciente con que se genera el conocimiento (en particular, la cantidad de información disponible crece exponencialmente y los nodos en la red electrónica mundial se multiplican como parte de un proceso de cambio social muy rápido, el cual abre la posibilidad de aprovechar la red internacional de comunicación electrónica y el acceso generalizado a la información) y su altísima tasa de obsolescencia. En ciencia y tecnología, la tasa de obsolescencia era ya muy alta en la segunda mitad del siglo XX, si se considera que el lapso de educación formal de un profesional es de 15 años y que cada 30 años se duplica la información en su campo, entonces, 15 años después de egresar, el 50% de lo que aprendió es obsoleto. A lo largo de una vida de trabajo de cuarenta y cinco años, los conocimientos de un profesionista en esta situación, el 87.5% son obsoletos. En algunos campos de avance muy rápido, como el de las ciencias de la computación, el período de duplicación no es de 15, sino de 4 años y la obsolescencia es del 98% en solamente 24 años.
Esto requiere una estrategia adecuada para contrarrestar la obsolescencia y saber estar al día a pesar de la rapidez con la que el conocimiento de punta se va sustituyendo.

Una posible solución consiste en aprender y enseñar:


· Principios y leyes generales que no se hagan obsoletos rápidamente.
· Métodos de investigación que permitan encontrar rápida y correctamente información factual actualizada cuando sea necesario aplicarla.
· Métodos de clasificación de la información jerarquizada en categorías de manera que los asuntos importantes para un contexto particular, puedan destacarse rápidamente.
· Inculcar el deseo de continuar auto educándose por toda la vida.


En la LMA se trataría de poner en práctica una educación basada en estos principios, apoyados en las facilidades de acceso y procesamiento de la información de nuestros días, para que sus egresados puedan ser verdaderos agentes de transformación, conscientes de su papel como científicos aplicados, capaces de defender, ejerciéndola, su capacidad creadora.


Conocimientos fundamentales


Si bien, la pronta obsolescencia de la información es una característica de nuestra época, las habilidades básicas y los principios generales necesarios para investigar y aprender a plantear y resolver problemas cambian a un ritmo mucho más lento. Los principios generales en las ciencias físicas están esencialmente relacionados con la capacidad de aplicar la matemática para descubrir estructuras y patrones geométricos, temporales, dinámicos, relacionales, etcétera, en los más diversos ámbitos y esas habilidades que han sido las mismas desde la Ilustración hasta nuestros días, constituyen una parte robusta en el cuerpo del conocimiento y es imprescindible atenderlas en cualquier programa de formación científica. Del resto de los resultados de la investigación de punta'' o de la inmensa cantidad de datos acumulados, lo que no puede excluirse es aprender a valorar la información disponible en función de la posibilidad de generar conocimiento nuevo. De lo anterior, puede decirse que la producción científica es un proceso social en el que ocurren cambios cualitativos en diferentes escalas de tiempo. Formar profesionales capaces de enfrentar las dificultades de una actividad con tal dinámica implica propiciar, mediante el plan y los programas de estudio de la LMA el que los estudiantes hagan suyos métodos, principios y técnicas:
· Del Cálculo y Análisis Matemático sobre todo del no lineal, herramientas fundamentales generales y flexibles, necesarias para afrontar la mayor variedad de problemas y comprender tanto los avances en el campo de conocimiento de su mayor interés como los de otros campos; por su robustez, estos métodos, principios y técnicas son de obsolescencia lenta;
· de la Investigación o búsqueda pertinente en publicaciones por todos los medios; de manera que el estudiante pueda ponerse al día en lo que sea necesario, tanto para el trabajo en su campo como para el trabajo interdisciplinario;
· de discriminación de información que permita ser jerarquizada, en función de su importancia para los problemas que se quiera resolver;
· del auto didactismo que se ponga en práctica durante toda la vida profesional; se trata de hacer de ésta una acción de actualización continua luego del periodo de educación formal.


A manera de conclusión


Pretender que un egresado de la carrera de MA maneje todos los conocimientos alrededor del área, incluso en su variante clásica, sería muy pretencioso.
Aún la información especializada es prácticamente imposible de manejarse en su totalidad, por lo que en forma natural, se fortalece la tendencia a la fragmentación del conocimiento y la súper especialización, actitud no deseable en la formación de un profesionista.
Por eso es que el plan y los programas de estudio deben ser leídos, teniendo en cuenta estos lineamientos generales.

Plan de Estudios de la Licenciatura en Matemática Aplicada.

Universidad Autónoma de Nayarit.

(Con este Programa Académico se intenta transmitir bases sólidas con énfasis general en Matemática Aplicada, y en particular en Matemática de la Industria Agropecuaria, en ciertos Problemas de  Ingeniería y en Técnicas Computacionales)

 

PROGRAMA ACADÉMICO en MATEMÁTICA APLICADA.

Mapas Curriculares

La idea básica de este Programa Académico es preparar estudiantes con un sólido conocimiento en herramientas numéricas y de matemáticas aplicadas clásicas y uso de ellas para plantear modelos o simular situaciones que semejen a los problemas reales cotidianos, de individuos, de grupos, de instituciones, de la región y den perspectivas de al menos las soluciones técnicas más adecuadas incluyendo los aspectos sociales y ecológicos.

El presente plan general de estudios consta de 8 semestres lectivos, con 24 [1] asignaturas (en promedio 3 asignaturas de alta concentración por semestre con un total de 3 horas de clase al día y trabajo adicional deseable de un mínimo de 3 hrs.), en las que quedan incluidas como tales el Servicio Social Obligatorio y el Seminario del Proyecto de Investigación Final, después de lo cual el estudiante recibe el título de “Licenciado en Matemática Aplicada” (240 créditos [2] ). El estudiante también recibe como estímulo adicional el grado de “Técnico en Matemática Aplicada” y el de “Técnico Académico en Matemática Aplicada” si concluye el Cuerpo Básico (120 créditos de los 4 primeros semestres) y el Núcleo Básico (80 créditos de casi 3 semestres) de asignaturas respectivamente. Por ende la Opción Especializada Final está formada por 40 créditos de un poco más de 1 semestre. En este Primer Plan de estudios todas las asignaturas son obligatorias.

Paralelamente se intentará ir subiendo los materiales (textos en línea, conferencias video grabadas, materiales interactivos, etc.) de la Licenciatura en Matemática Aplicada a Internet de manera que coadyuve con la parte escolarizada, que de inmediato exprese una cierta idea de lo que sería una variante virtual, pero que a mediano plazo constituya una verdadera variante virtual y a distancia de la misma Licenciatura.

Se es conciente de que la principal dificultad con la que nace este Programa Académico es el déficit de personal calificado para impartirlo, problema que se intenta remediar mediante convenios con instituciones nacionales y extranjeras y con el envío de estudiantes locales y de otras Universidades a estudios de postgrado al extranjero, con promesa de regresar a trabajar a la UAN.

Hor./

/Sem

8-9

Hrs

Cálculo1

Cálculo2

Cálculo3

Cálculo4

Mecánica

 del Medio

Continuo

Computa-ción Científica en EDP

Modelaje

Matemáti-co y Métodos

 de Perturba-ción

El

Fenómeno

de Transpor-te

9-10

Cálculo1

Cálculo2

Cálculo3

Cálculo4

Mecánica

 del Medio

Continuo

Computa-ción Científica en Álgebra Lineal

Métodos del Elemento Finito

Dinámica

de

Fluidos Computa-cionales

10-11

Compu-

tación

Matem.

Discre.

Técnicas

 de

Reportes,  Escritos y “Toefel”

Servicio

Social

 Obligato-rio

Ecuacio-nes de Evolu-

ción

Parabóli-

cas e Hiperbó-licas

Métodos

 Variacio-nales y Energéti-co

El Fenó-meno de

Transfe-rencia de Calor y Flujos

Seminario

del

 Proyecto

 de Investi-gación Final

11-14

t

r

a

b

a

j

o

diario

ESQUEMA de las ASIGNATURAS

Cuerpo Básico

Núcleo Básico

Especializadas

Cuerpo Básico

(Base mínima para poder emprender aplicaciones clásicas coherentes)

La ideología de este cuerpo básico de asignaturas consiste en sólo exponer y exigir la demostración de las propiedades más fundamentales, básicas e importantes. Del resto de las nociones, conceptos  y proposiciones la única gran exigencia es su definición precisa y su enunciado exacto tanto en palabras como en cuantificadores y símbolos matemáticos usualmente usados en la jerga. Siempre serán bienvenidas las motivaciones a cada tema, su desarrollo histórico, los problemas que le dieron origen, así como ejemplos y sobre todo el planteamiento de problemas y su resolución hasta sus últimas consecuencias incluso numéricas cuando proceda, con la intención de ir fraguando la costumbre de la modelación y simulación desde la más elemental y simple hasta la mas sofisticada técnicamente hablando. Remarcando siempre las restricciones de cada modelo a las condiciones de su planteamiento y por tanto lo limitado de la matemática respecto de otras ciencias, pero a su vez marcando la diferencia en lo “riguroso” y preciso que pretenden ser las definiciones y los conceptos matemáticos, ventaja sin igual respecto del resto de las otras ciencias. Bajo estas condiciones se presume que es posible cubrir un diapasón tan grande de temas como el propuesto para los primeros 4 semestres sobre todo con los Cálculos.

Cálculo. (4 semestres), [10 hrs. semanales] (Teórico -Práctico) (Cálculo Diferencial e Integral de una variable; Cálculo Diferencial e Integral de varias variables; Temas básicos de Geometría Analítica; Tópicos de Álgebra Lineal; Números y Funciones de Variable Compleja; Métodos de Integración de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) e introducción a los Métodos Cualitativos de EDO; Transformaciones Integrales; Ecuaciones Integrales básicas; Introducción a Geometría Diferencial; Métodos Numéricos de los conceptos básicos y procedimientos de resolución de clases de problemas; Elementos de Cálculo de Variaciones ; Problemas de Optimización)

Computación. (1 semestre), [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Algún paquete equivalente a “MATLAB”, Algún Lenguaje tipo “C”, El uso del Sistema Operativo “UNIX” o “LINUX”)

Matemáticas Discretas. (1 semestre), [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Conjuntos, Lógica, Proposiciones,  Combinatoria, vectores y matrices, Gráficas, Redes, Códigos, Programación Lineal y Juegos, Autómatas finitos, Algoritmos)

Técnicas de Reporte, Escritura y el “Toefel” (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Aprender a reportar los resultados, escritura de artículos, libros o monografías y lo correspondiente en inglés)

Servicio Social Obligatorio. (1 semestre) [20 hrs. Semanales] (A ser prestado en cualquier institución federal, estatal, municipal u organización social interesada, de preferencia fuera de la UAN)

El estudiante al terminar este ciclo del Núcleo Básico de asignaturas recibirá automáticamente el grado de “Técnico en Matemática Aplicada” por parte de la UAN.

Núcleo Básico

(Aplicaciones clásicas de los modelos matemáticos más exitosos fuera de la matemática Intenta centrarse en Mecánica, en Computación Numérica y Científica y en EDP)

La filosofía  de este núcleo básico de asignaturas es explotar los modelos matemáticos clásicos que están detrás de la ciencia que más a utilizado la matemática: la física clásica.

NÚCLEO BÁSICO

MECÁNICA de los MEDIOS CONTINUOS. (1 semestre) [10 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Curso fundamental de este Programa para la ulterior simulación, por analogía y otros métodos, de muchos fenómenos, basados a su vez en fenómenos fundamentales de la naturaleza, además clarifica las semejanzas que se dan en la estructura matemática de muchos fenómenos de las ciencias particulares):

Mecánica. Mecánica Racional; Mecánica del Continuo: conceptos básicos y cinemática, fuerzas, teoría de elasticidad, transición a la hidrodinámica, hidrodinámica; Sólidos y Fluidos; Leyes de Conservación del Momento, de Masa y de Energía; Ecuaciones constitutivas; Fluidos Newtonianos y no Newtonianos)

Ecuaciones de Evolución Parabólicas e Hiperbólicas. (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico) (El entendimiento de los problemas de Ingeniería requiere del conocimiento de las ecuaciones fuertemente dependientes del tiempo originadas en la matemática del Fenómeno de Transporte)

Computación Científica en Álgebra Lineal. (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Solución Numérica de Sistemas Lineales Largamente Esparcidos, originados de la discretización de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP); Métodos Iterativos; Introducción al uso de Paqueterías Numéricas)

Computación Científica en Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP). (1 semestres) [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Solución numérica principalmente de Ecuaciones dependientes explícitamente del tiempo; Cómo se emplean o conservan propiedades físicas específicas; Énfasis en Problemas de Procesos de Convección, Difusión y Reacción Difusión; Uso de Paqueterías Numéricas)

Métodos Variacionales y Energético. (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico)  (EDP Elípticas: Resolución de Problemas Estacionarios procedentes de Mecánica de los Medios Continuos)

Métodos del Elemento Finito. (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Esta importante clase de Métodos utiliza las Ecuaciones Variacionales para resolver principalmente problemas estacionarios. Este curso pretende explicar lo fundamental que resultan estos métodos funcionales y tratan adicionalmente con un cierto número de Problemas Prácticos, con la aplicación de Paqueterías Numéricas )

Modelación Matemática y Método de Perturbaciones. (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Introducción a la modelación de Problemas Industriales. Cómo interpretar la presencia de parámetros “pequeños” y “grandes” en las ecuaciones provenientes de su modelación. Principios básicos de la modelación matemática; Método de Perturbaciones. Modelos Determinísticos: Ecuaciones de Balance; Leyes de Conservación; Semejanza; Ley de Acción de Masas; Modelos discretos. Modelos Probabilísticos: Diseño de Experimentos; Monte Carlos; Cadenas de Markov; Procesos de Decisión Markoviana; La Distribución Exponencial y los Procesos de Poisson; Elementos de Teoría de Filas con Cola; Elementos de Series de Tiempo; Elementos de Simulación; Modelación en Economía; Modelación en Finanzas. Modelación en Biología; Modelación Computacional; Modelación de la Complejidad; Mundos Pequeños.)

El estudiante al terminar los ciclos del Núcleo Básico y del Cuerpo Básico de asignaturas recibirá automáticamente el grado de “Técnico Académico en Matemática Aplicada” por parte de la UAN.

OPCIONES FINALES ESPECIALIZADAS

Orientaciones Prácticas hacia

Dinámica de Fluidos,

Cuerpo Sólido*,

Ciencias de Materiales*,

Ingeniería Eléctrica*,

Computa-ción*.

*Posibles opciones especializadas futuras.

OPCIÓN FINAL EN DINÁMICA DE FLUIDOS

(La Dinámica de Fluidos juega un papel importante en la solución tanto de problemas cotidianos como de alta tecnología)

 

Fenómeno de Transporte (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico) (Ecuaciones de Navier –Stokes, Euler, Bernoulli, Turbulencia, Leyes a la Frontera))

Métodos Numéricos para Transferencia de Calor y para Flujos (1 semestres) [5 hrs. semanales] (Teórico - Práctico) (Aplicación del Método del Elemento Finito a problemas de Ingeniería relacionados con la transferencia de calor: EDP Parabólicas. Y para flujos: Ecuaciones de Navier –Stokes con números de Raynolds grandes)

Dinámica de Fluidos Computacionales. (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico-Práctico) (Dedicado a la exploración computacional de ecuaciones de flujos con altos números de Raynolds, su interactividad con “applets” u otras representaciones)

Seminario del Proyecto de Investigación Final. (1 semestre) [5 hrs. semanales] (Teórico-Práctico) Este Seminario funcionará con base en las exposiciones de los estudiantes ante quienes formalmente dirijan sus tesis. Las sesiones finales de dicho seminario servirán para la presentación formal de la defensa de cada una de las tesis, previa presentación de la versión escrita del trabajo de tesis y también con la aprobación previa del director de la tesis y de un sinodal oponente adicional, los cuales deberán estar presentes en la defensa de la tesis por parte del estudiante.

El estudiante, al terminar los ciclos del Núcleo Básico, del Cuerpo Básico y de las asignaturas de la Orientación Final en Dinámica de Fluidos, incluido el Seminario del Proyecto de Investigación Final, recibirá automáticamente el grado de “Licenciado en Matemática Aplicada” por parte de la UAN.

APÉNDICES.

I. PROGRAMAS de ESTUDIO DETALLADOS del CUERPO BÁSICO de ASIGNATURAS

PRIMER SEMESTRE

CÁLCULO I

1.      Número Real : Idea de N, Z, Q, I, R, C. Idea de la construcción de los reales axiomáticamente. Desigualdades. Las operaciones aritméticas. Principales Propiedades de los números reales. Supremo e Ínfimo de un conjunto. Otros enunciados equivalentes del axioma fundamental. Isomorfismo de las diferentes construcciones de los números reales. Algunas demostraciones. Desigualdades con valores absolutos.

2.      Sucesiones y su Límite: Sucesiones de todos los tipos. Límite de una sucesión. Operaciones aritméticas con límites. Límites que tienden a 0 y a Infinito. Existencia del límite para sucesiones monótonas y acotadas. El número e. Existencia del límite con el criterio de Cauchy. Subsucesión. Límite superior e inferior. Teorema de Weierstrass. Conjunto numerable de Q. Conjunto no numerable de R.   

3.      Función: Maneras de definir una función. Definiciones y clasificaciones. Gráficas de una función y sus operaciones. Operaciones con funciones: “+”, “_”, “*”, “/”, “o”. Distintas propiedades de las funciones: acotadas, crecientes, pares, periódicas, máximos. Distintos tipos de funciones: racionales, irracionales, trigonométricas, hiperbólicas, . Mapeos. Mapeos inversos. Composición de mapeos.

4.      Límite de Funciones: Límite de una función en +oo (Asíntota). Formulación de cada tipo de límite en el lenguaje de (e,d), en el de vecindades, en el mixto. Interpretación física del concepto de límite cuando x->+oo. Propiedades de los límites de funciones cuando x->+oo. Límites de funciones cuando x->-oo y cuando x->oo. Existencia del límite de una función monótona y acotada. Funciones infinitas y sus propiedades.. Cálculo de límites de funciones cuando x->oo. Cálculo del límite con operaciones aritméticas de funciones. Cálculo del límite del cociente de dos polinomios cuando x->oo de funciones. Cálculo del límite de la raíz de una función.. Límite en un conjunto. Límite de una sucesión como límite en un conjunto. Existencia del límite de una función como encaje de intervalos. El número e.. Límite de una función en un punto. Propiedades de este límite. Límites laterales como límite en un conjunto. Existencia del límite de una función monótona y acotada en un punto. Límites infinitos y asíntotas verticales.

5.      Funciones Continuas: Concepto de continuidad de una función en un punto. Procesos continuos y discontinuos. Funciones continuas en un punto. Operaciones aritméticas con funciones continuas. Límite de una composición de funciones. Continuidad del límite de una composición de funciones. Propiedades de las funciones continuas en un punto. Puntos de discontinuidad., Técnicas del cálculo de límites de funciones. Límite de una función continua. Casos simples de rompimiento de indeterminaciones. Límite de sen x entre x cuando x->0. Comparación de infinitos. Equivalencia de infinitésimos. Propiedades de las funciones continuas. Teorema del valor intermedio. Acotabilidad de funciones en un segmento. Función inversa. Funciones trigonométricas inversas. Funciones hiperbólicas inversas.. Funciones exponenciales en Q y en R. Potencias con exponentes irracionales. Funciones logarítmicas e hiperbólicas. Funciones elementales. Límites con funciones exponenciales y logarítmicas. Exp x como límites.

6.      Cálculo Diferencial para funciones de una variable. Derivada. Tabla de derivadas de las funciones elementales más simples. Diferencial. Derivada de las operaciones aritméticas con funciones. Derivada de la composición. Derivada de la función inversa. Derivadas y diferenciales de orden superior. Crecimiento y decrecimiento de una función sobre un segmento y sobre un punto. Extremo local. Teorema del valor medio. Criterios de crecimiento y decrecimiento de una función sobre un segmento. Criterios suficientes para la ubicación de extremos locales. Fórmula de Taylor para las funciones elementales más importantes. Serie de Taylor. Convexidad de una curva en un punto. Punto de inflexión. Convexidad de una curva en un segmento. Rompimiento de indeterminaciones. Funciones seccionalmente continuas y suaves a trozos. Métodos cualitativos iniciales para el análisis de modelos dados por ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).    

7.      Espacio multidimensional (R^n). Geometría (diferencial) de una curva. Espacio de dimensión n. Conjunto Lineal. Espacio Euclideano n dimensional. Espacio con producto escalar. Espacio lineal normado. Función vectorial (RàR^n). Curva en un espacio de dimensión n. Interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial. Longitud de un arco de curva. Tangente y normal a una curva plana. Curvatura y radio de curvatura de una curva. Evoluta y envolvente. Plano auscultador. Triedro (Fórmulas de Frenet) de una curva. Asíntotas. Cambios de variables en derivadas.

8.      Cálculo Diferencial de funciones de varias variables. Conjunto abierto. Límite de una función. Función continua. Derivadas Parciales y derivada direccional. Función diferenciable. Plano tangente. Derivada de una composición; derivada direccional; gradiente. Independencia del orden de derivación parcial. Diferencial de una función; diferencial de orden superior. Punto de acumulación; Teorema de Weierstrass; Conjuntos Cerrados y abiertos. Funciones sobre un conjunto. Propiedades de las funciones continuas sobre un conjunto cerrado. Extensión de una función uniformemente continua; Derivada parcial sobre la frontera de una región. El Lema de rectángulos encajados y el Lema de Borel. Fórmula de Taylor con residuo en la forma de Peano; Unicidad. Extremos locales (absolutos) de una función. Teorema de existencia de la función implícita. Teorema de existencia de un sistema de ecuaciones. Mapeos. Superficie suave dada paramétricamente; Superficie orientada. Ejemplo de una superficie no orientada; La cinta de Mëbius. Extremos locales relativos. Singularidades de una curva. Curvas en una superficie. Coordenadas curvilíneas en una vecindad de la frontera suave de una región. Cambios de variables en derivadas parciales. Sistema de funciones dependiente.  

COMPUTACIÓN

1.      Introducción práctica al paquete “MATLAB” o su equivalente en Linux.

2.      Programación en un Lenguaje tipo “C”.

3.      El uso del Sistema Operativo “LINUX”.

SEGUNDO SEMESTRE

CÁLCULO II

1.      Integral indefinida. Álgebra de Polinomios. Definición de integral indefinida. Tabla de integrales indefinidas. Cambio de variable e integración por partes. (Para llegar al método de fracciones simples: Una introducción a las definiciones de Números Complejos, Límite de una sucesión de números complejos, Función de variable compleja, Función continua, Derivada de una función de variable compleja e integral de una función compleja). Polinomios con coeficientes complejos. Desarrollo de una función racional en fracciones simples. Integración de fracciones racionales. Separación de la parte racional de una integral. Integración de expresiones con irracionalidades algebraicas. Cambios de variable de Euler. Integración de binomios diferenciales. Integración de expresiones trigonométricas. Integrales no expresables a través de funciones elementales (integrales elípticas).

2.      Integral definida de Riemann. Motivación. Definición de Integral definida de Riemann. Acotabilidad de funciones integrables. Sumas de Darboux. Teorema Fundamental. Teorema de existencia de la integral de funciones continuas y monótonas sobre [a,b]. Teorema de Lebesgue. Desigualdades y el Teorema del Valor Medio. Integral como función del límite superior variable. Teorema de Newton Leibniz. Segundo Teorema del Valor Medio. Integrales impropias. Integrales impropias de funciones no negativas. Integración por partes. Integrales impropias con singularidades en varios puntos. Fórmula de Taylor con residuo en forma integral. Fórmula de Wallis. Fórmula de Stirling.  

3.      Algunas Aplicaciones de la integral. Área en coordenadas polares. Volumen de cuerpos de revolución. Longitud de una curva suave. Área de la superficie de un cuerpo de revolución.

4.      Métodos Numéricos. El Polinomio de Interpolación de Lagrange. Fórmulas de Cuadratura del Rectángulo y el Trapecio. La fórmula de cuadratura general. La integral como una funcional. La idea de la axiomática de Daniel. Fórmula de Simpson. Un método General para la obtención para la estimación de las Fórmulas de Cuadratura. Solución numérica de EDO.

5.      Series. Series numéricas. Operaciones con series. Series con términos no negativos. Serie de Leibniz. Series absolutamente convergentes. Series convergentes condicionadas e incondicionadas con términos reales. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme. Derivación e integración de series uniformemente convergentes sobre un segmento. Series múltiples. Multiplicación de series absolutamente convergentes. La suma de series, el límite de sucesiones y el método de la media aritmética.

MATEMÁTICA DISCRETA

1.      Conjuntos.

2.      Lógica. Proposiciones.

3.      Combinatoria.

4.      Vectores y Matrices.

5.      Gráficas. Redes.

6.      Códigos.

7.      Programación Lineal.

8.      Juegos.

9.      Autómatas finitos.

10.  Algoritmos.

TERCER SEMESTRE

CÁLCULO III

1.      Integrales múltiples. El volumen y la masa de un cuerpo en R^3 como integrales múltiples. Conjuntos cuadrables a la Jordán. Ejemplos importantes de conjuntos cuadrables a la Jordán. Un criterio adicional de conjunto medible. Conjuntos de 3 y n dimensiones medibles a la Jordán. El concepto de integral múltiple. Sumas integrales superiores e inferiores. Teorema Fundamental. Integrabilidad de las funciones continuas en un conjunto medible cerrado y otros Criterios. Conjuntos de medida de Lebesgue cero. Demostración del Teorema de Lebesgue, Funciones integrables y acotadas. Propiedades de las integrales múltiples. Reducción de las integrales múltiples a integrales separadas. Continuidad de la integral respecto de un parámetro. Interpretación geométrica del signo de un determinante. Los casos más simples de Cambio de Variables en una integral múltiple. Cambio de variables general en una integral múltiple. Coordenadas polares en el plano y en el espacio. Propiedades generales de las operaciones continuas. Área de una superficie.

2.      Teoría del Campo. Integrales de línea de primera y de segunda especie. Campo de una función potencial. Orientación de una región plana. Fórmula de Green, Expresión del área mediante integrales de línea. Integral de Superficie de primera especie. Orientación de una superficie. Integral en una región plana orientable. Flujo de un vector a través de una superficie orientada. Divergencia, Teorema de Gauss. Rotacional de un vector, Fórmula de Stockes.

3.      Derivación de una integral respecto de un parámetro. Integral impropia. Convergencia uniforme de una integral impropia. Convergencia uniforme de una integral  en una región no acotada. Convergencia uniforme de una integral  con un punto singular variable.

TÉCNICAS DE REPORTE, ESCRITURA Y “TOEFEL

1.      Reporte de resultados.

2.      Tex

3.      Escritura de Artículos, Libros y Monografías

4.      Preparación para el “TOEFEL”)

CUARTO SEMESTRE

CÁLCULO IV

1.      Espacios Lineales Normados. El espacio C de las funciones continuas. Los espacios L’ de las funciones absolutamente Riemann integrables, L de las funciones medibles en el sentido de Lebesgue que tienen norma finita, L’p, Lp y lp. Los espacios L’2, y L2. Aproximaciones con funciones finitas. Algunos elementos de la Teoría de conjuntos lineales y de espacios lineales normados.  

2.       Sistemas Ortogonales. Sistemas ortogonales en un espacio con producto escalar. Ortogonalización de un sistema. Propiedades del espacio L’2(OMEGA), y L2(OMEGA). Completez del sistema de funciones en C, L’2, y L’.

3.      Series de Fourier. El concepto, definiciones y resultados previos. Suma de Dirichlet. Fórmulas para el residuo de de la serie de Fourier. Lema de las Oscilaciones. Criterio de convergencia de las series de Fourier, Completez de sistema de funciones trigonométricas. Forma compleja de la serie de Fourier. Derivación e integración de las series de Fourier

4.      Aproximación de funciones por Polinomios. . Estimación del residuo de las series de Fourier. El fenómeno de Gibbs. Las sumas de Fayer. Noción de las series de Fourier múltiples. Polinomios algebraicos, Polinomios de Chebyshev. Polinomios de Legendre.

5.      Integral de Fourier. El concepto de integral de Fourier. Lema acerca del cambio en el orden de integración. Convergencia de la integral simple de Fourier a sus funciones generadoras. Transformada de Fourier, Integral de Fourier iterada, Transformada de Fourier coseno y seno.

6.      Distribuciones (funciones generalizadas). Derivada y transformada de Fourier. El espacio S y el espacio S’ de distribuciones. La integral de Fourier multidimensional y las distribuciones. Las funciones finitas escalonadas. Aproximación cuadrática. Teorema de Plansherel. Estimación de la convergencia de la integral simple. Generalización de función periódica.

7.      Variedades y Formas Diferenciables. Variedades diferenciables. Frontera de una variedad diferenciable y su orientación. Formas diferenciables. Formula de Stockes.

8.      Integral de Lebesgue. Medida de Lebesgue. Funciones medibles. Integral de Lebesgue. Integral de Lebesgue en un conjunto no acotado. Derivada generalizada de Sobolev. Espacio de distribuciones D’. La incompletez del espacio L’p. Generalización de la medida de Jordan. Integral de Riemann Stiltjes. Integral de Stiltjes. Generalización de la integral de Lebesgue. Integral de Lebesgue Stiltjes. Extensión de una función, Teorema de Weierstrass.

SERVICIO SOCIAL OBLIGATORIO.

A ser prestado en cualquier institución social

1.      federal,

2.      estatal, o

3.      municipal interesada, de preferencia fuera de la UAN.



[1] Todas las asignaturas son de 5 hrs. semanales, excepto los 4 Cálculos y la Mecánica que son de 10 hrs. cada una y el Servicio Social que es de 4 hrs. diarias por un semestre.

[2] El número de créditos está calculado como el doble del número de horas por semana, excepto el Servicio Social que formalmente se toma como cualquier asignatura de 5 hrs. a la semana.