VARIABLE COMPLEJA I

TEMARIO

:
I Álgebra y geometría de los números complejos
En esta parte del curso, el alumno deberá manipular el álgebra y aritmética de los números complejos. Identificará en el plano y en el plano extendido a un número complejo z, así como números relacionados con él, como su conjugado , 1/z, z2, etc. El alumno deberá manejar adecuadamente el concepto de módulo de un número complejo.

• Interpretación de las operaciones aritméticas.
• Argumento, valor absoluto.
• Proyección estereográfica. Plano extendido.
• Esfera de Riemann.

II Funciones holomorfas
Comprender los conceptos de continuidad y diferenciabilidad de una función compleja, en particular distinguir la diferenciación como función real de la diferenciación como función compleja. Identificar condiciones algebraicas y geométricas que garanticen que una función sea analítica.

• Definición y propiedades de la derivada.
• Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones.
• Funciones holomorfas.
• Condiciones de Cauchy-Riemann.
• Interpretación de funciones holomorfas como transformaciones conformes.

III Funciones elementales
Que el alumno adquiera un manejo de las funciones complejas elementales, que analice su diferencia con las funciones reales, que reconozca las propiedades más importantes de éstas, y que pueda graficarlas para de ahí deducir propiedades geométricas y analíticas.

• Funciones racionales, la exponencial, el logaritmo, las funciones seno y coseno, exponenciales generalizadas.
• Interpretación geométrica como transformaciones.

IV Integral de línea
Como elemento central del curso se encuentra el Teorema de Cauchy, en esta cuarta parte, se desea que el alumno comprenda la importancia de este resultado. Se deberá insistir en su utilidad tanto teórica como práctica, se deberá resaltar su equivalencia con la fórmula integral de Cauchy.

• Definición y propiedades.
• Teorema fundamental del cálculo.
• Integral de (z-zo)n.
• Integrales de funciones racionales. Descomposición en fracciones parciales. Polos y residuos.
• Teorema fundamental de Cauchy.
• Fórmula integral de Cauchy. Aplicaciones.
  

BIBLIOGRAFÍA

• Marsden, J., Basic complex analysis, W.H. Freeman and Company, 1973.
• Derrick, W., Variable compleja con aplicaciones, Grupo editorial Iberoamérica, 1987.
• Conway, J., Function of one complex variable, Springer-Verlag, 1978.
• Alfhors, L., Complex analysis, Mc Graw-Hill, 1979.
• Jones, G.; Singerman, D., Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint, Cambridge University Press, 1987.
  

Notas del curso impartido por el profesor Santiago López de Medrano

Notas para el curso de Variable Compleja por el profesor Antonio Lascurain Orive