ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TEMARIO

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I Elementos de Teoría de Conjuntos y Espacios Métricos
Se establecen los conceptos de numerabilidad y cardinalidad con lo cual es posible realizar un estudio sobre equivalencia entre conjuntos. Se introduce el concepto de espacio métrico, subconjuntos abiertos, cerrados y compactos que serán indispensables posteriormente en el estudio de algunas de las propiedades importantes de las funciones.

• Conjuntos finitos e infinitos. Conjuntos numerables (ej. el conjunto de números racionales). Conjuntos no numerables (el conjunto de los números reales, el conjunto de Cantor). Equivalencia entre conjuntos, cardinalidad. Potencia de un conjunto. Opcional: Teoría de Cantor Bernstein.
• Espacios Métricos (ej. los espacios Euclideanos). Distancia, subconjunto abierto, subconjunto cerrado, punto de acumulación. Teorema de Baire.
• Conjuntos Compactos. Teorema de Heine-Borel. Teorema de Bolzano Weierstrass.
• Conjuntos conexos.
• Conjuntos perfectos.

II Continuidad y Límite de Funciones en Espacios Métricos
Se estudian los conceptos de continuidad y límite de funciones definidas en espacios métricos, quedando como ejemplo las funciones estudiadas en los cursos de cálculo, los teoremas referentes a funciones continuas en espacios Euclideanos, son estudiadas ahora en este contexto.

• Límite de una función.
• Funciones continuas.
• Propiedades globales de funciones continuas. a) Preservación de compacidad y conexidad. b) Teorema del valor Intermedio. c) Teorema del punto fijo.
• Discontinuidades. Primera y Segunda Especie. Numerabilidad de las discontinuidades de una función monótona.

III Sucesiones y Series Numéricas
Estos conceptos fueron estudiados en los primeros cursos de cálculo. El propósito aquí es que el alumno perfeccione las técnicas de estimación, que será indispensable en el punto siguiente. Se incluyen también las nociones de Límite inferior y superior.

• Sucesiones, subsucesiones, sucesiones de Cauchy.
• Límite Superior e Inferior.
• Series, series de términos no negativos.
• Criterios de Convergencia de series. Criterio de la razón. Criterio de la raíz, Criterios de comparación etc.
• Convergencia condicional, convergencia absoluta, rearreglos.

IV Sucesiones y series de funciones
Convergencia puntual y uniforme son los conceptos centrales en esta parte del curso, que permitirán concluir con los teoremas de Dini, Stone-Weierstrass y Arzelà-Ascoli.

• Convergencia puntual y uniforme de sucesiones
• Sucesiones de funciones continuas.
• Sucesiones de funciones diferenciables.
• Convergencia puntual y uniforme de series de funciones.
• Teorema de Dini. Teorema de Stone-Weierstrass.
• Familias equicontinuas de funciones. Teorema de Arzelà-Ascoli.
  

Bibliografía

• Lang, S. , Introducción al Análisis Matemático, Addison- Wesley Iberoamericana. 1990.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, third edition, (International Series in Pure & Applied Mathematics) McGraw Hill, New York, 1976.