ALGEBRA SUPERIOR II

TEMARIO

I Polinomios y Ecuaciones Polinomiales
Se estudia el anillo de polinomios, el cual es básico en toda la Matemática.

• Definición: Polinomios con coeficientes en un campo k.
• Operaciones (propiedades). El dominio entero k[x]
• Divisibilidad enk[x]. Propiedades.
• El algoritmo de la división. Máximo común divisor. El Algoritmo de Euclides. Polinomios irreducibles. El teorema de la factorización única.
• Raíces de polinomios. El Teorema del Factor y el Teorema del
  Residuo.
• El Teorema Fundamental del Algebra
• Raíces de polinomios en Z[x], Q[x], R[x].
• Raíces múltiples
• Ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado
  

II Espacios Vectoriales Rn, Cn
Se presentan los conceptos básicos del Algebra Lineal para RD y CD. Estos son
fundamentales para el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales X
presentan los fundamentos para los cursos de Algebra Lineal del tercero y
cuarto semestre.

• Los espacios R2 y R3. Propiedades y operaciones. Interpretación
  geométrica de sus elementos. Aplicaciones geométricas.
• Los espacios Rn y Cn. Subespacios. Subespacios generados por
  conjuntos (incluyendo el vacío). Combinaciones lineales.
  Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimensión
  

III Matrices y Determinantes
Se estudian las propiedades del espacio vectorial de las matrices y el
concepto de determinante.

• Matrices: Definición y operaciones. El espacio de matrices de m n.
• Matrices especiales: diagonal, triangular, idéntica.
• La transpuesta de una matriz.
• Matrices simétricas, antisimétricas, ortogonales, unitarias.
• Operaciones elementales. Matrices equivalentes. Forma escalón reducida. Rango. Matrices elementales.
• Factorización triangular de una matriz (T=PA).
• Matrices invertibles. Cálculo de la inversa
• El determinante de una matriz cuadrada: Definición y propiedades.
• Cálculo de determinantes

IV Sistemas de Ecuaciones Lineales
Se estudian los sistemas de ecuaciones lineales, su resolución conceptual y
computacional es fundamental para el área.

• Soluciones de un sistema.
• Sistemas de ecuaciones equivalentes.
• Sistemas homogéneos.
• Criterios de existencia de soluciones.
• Resolución de sistemas.

Bibliografía

• Ross A. Beaumont and Richard S. Pierce, The algebraic foundations of mathematics, Ed Addison-Wesley
• Nachbin, Álgebra Elemental.
• Halmos, Teoria Intuitiva de los Conjuntos.
• Dodge, Sets, Logic and Numbers.
• Grimaldi, Matemáticas Discreta y Combinatoria.
• Grossman, Algebra Lineal.
• Lang, Algebra Lineal.
• Friedberg, Insel, Spence, Algebra Lineal.
• Hoffman, Kunze, Algebra Lineal.
• Gentile, Aritmética Elemental.
• Niven, Zuckerman, Introducción a la Teoría de los Números.
• Cárdenas, Lluis, Raggi, Tomás, Álgebra Superior.