ALGEBRA SUPERIOR I

TEMARIO

I Conjuntos
Se presenta el lenguaje de la Teoría de Conjuntos la cual permite expresar los
conceptos de la Matemática moderna.

• Noción intuitiva de conjunto (relación de pertenencia)
• Igualdad de conjuntos. Subconjuntos. Subconjunto propio e
  impropio.
• Conjunto universal: Paradoja de Rusell. Conjunto vacío.
• Operaciones y propiedades (unión, intersección, diferencia,
  .complemento)
• Conjunto potencia
• Parejas ordenadas. Producto cartesiano (Ejemplos en R2 y R3)

II Relaciones y Funciones
Se estudia la manera de relacionar conjuntos y se establece el concepto
fundamental de función.

• Relaciones entre conjuntos
• Funciones (dominio, codominio, imagen)
• Igualdad de funciones
• Composición de funciones (asociatividad). Función Idéntica
• Funciones inyectivas, suprayectivas, biyectivas
• Funciones invertibles (inversa derecha e inversa izquierda)
• Funciones entre conjuntos finitos.
• Cardinalidad de un conjunto. Conjuntos finitos e infinitos
• Relaciones reflexivas, simétricas, antisimétricas y transitivas
• Relaciones de equivalencia. Particiones
• Relaciones de orden (orden total, orden parcial)
  

III Números Naturales
Se presentan los números naturales y se aplica el concepto de Ílmción para
resolver problcinas,computacionales

• Presentación.
• Principio de inducción. Principio del buen orden.
• Análisis combinatorio: ordenación con repetición, ordenaciones,
  pernutaciones, combinaciones. Problemas.
• Teorema del binomio. Coeficientes binomiales

IV Números Enteros
Se introduce el concepto de anillo y se estudia el anillo de los enteros.

• Definición de anillo. Divisores de cero, dominios enteros.
• Presentación (operaciones, propiedades)
• El anillo de los números enteros. El orden en Z. Unidades.
• Divisibilidad (propiedades).
• EI algoritmo de la división. Máximo común divisor. Primos
  relativos. Soluciones enteras de una ecuación lineal. El algoritmo de
  Euclides. Números primos. Teorema Fundamental de la Aritmética.
• Congruencias (Definición y propiedades). Ecuaciones y sistemas de
  ecuaciones módulo n. El teorema chino del residuo).
• EI anillo de los enteros módulo n.
  

V Números Complejos
Se estudia el campo de los números complejos y sus propiedades más
importantes.

• Definición de campo. (Q, R, Zp).
• EI campo de los números complejos: operaciones y propiedades.
• El conjugado de un número complejo: definición y propiedades
• El módulo de un número complejo: Definición y propiedades.
• Soluciones de ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos
• Representación polar (interpretación geométrica de las operaciones) "
• Teorema de De Moivre -Raíces de números complejos

Bibliografía

• Ross A. Beaumont and Richard S. Pierce, The algebraic foundations of mathematics, Ed Addison-Wesley
• Nachbin, Álgebra Elemental.
• Halmos, Teoría Intuitiva de los Conjuntos.
• Dodge, Sets, Logic and Numbers.
• Grimaldi, Matemáticas Discreta y Combinatoria.
• Grossman, Álgebra Lineal.
• Lang, Álgebra Lineal.
• Friedberg, Insel, Spence, Álgebra Lineal.
• Hoffman, Kunze, Álgebra Lineal.
• Gentile, Aritmética Elemental.
• Niven, Zuckerman, Introducción a la teoría de los Números.
• Cárdenas, Lluis, Raggi, Tomás, Álgebra Superior.